Racines et signe des fonctions de la forme x ⟼ a(x-x1)(x-x2)(x-x3)

Soit \(a\) un nombre réel non nul. Soit \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\) des nombres réels tels que \(x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\).

Propriété

La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\) a pour seules racines \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\).

• Si \(a>0\), alors \(f\) est strictement négative sur \(]-\infty~;x_1[\), strictement positive sur \(]x_1~;x_2[\), strictement négative sur \(]x_2~; x_3[\) et strictement positive sur \(]x_3~;+\infty[\).
• Si \(a<0\), alors \(f\) est strictement positive sur \(]-\infty~; x_1[\), strictement négative sur \(]x_1~;x_2[\), strictement positive sur \(]x_2~;x_3[\) et strictement négative sur \(]x_3~;+\infty[\).
  

Exemple

La figure suivante montre la courbe représentative de la fonction \(f\), définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=(x-1)(x-2)(x+1)\). On a bien \(a=1\), \(x_1=1\), \(x_2=2\) et \(x_3 =-1\).